ECON217HWARMA - 7. Znajdź średnią ruchomą. ECON217HWARMA 1. Jeśli szereg czasowy jest wariancją kowariancji, co wiemy o E (X t) i COV (X t. X tk) dla t 1. T i k 0, 1, 2. 2. Jeśli jest biały szum , co wiemy o E (X t) i COV (X t. X tk) dla t 1. T i k 0, 1, 2. 3. Zdefiniuj i porównaj funkcję autokorelacji oraz funkcję częściowej autokorelacji stacjonarne serie czasowe. 4. Załóżmy, że Y t śledzi Y t Phi Y t-1 epsilon t W e (0. sigma 2). za. Podaj założenie (y) na phi, które będzie stacjonarne. b. Zakładając, że jest stacjonarny. Znajdź funkcję autokorelacji i funkcję częściowej autokorelacji. 5. Załóżmy, że Y t idzie za Y t epsilon t t epsilon t-1 epsilon t WN (0, sigma 2). za. Podaj założenie, które będzie stacjonarne. b. Znajdź funkcję autokorelacji. do. Zapisać częściową funkcję autokorelacji. 6. Zastanów się nad zapisem serii czasowej. Omów, jak określiłbyś model serii czasowej za pomocą podejścia trójstronnego Box-Jenkinsa i podejścia opartego na kryterium informacji. To jest koniec podglądu. Zarejestruj się, aby uzyskać dostęp do pozostałej części dokumentu. Niesformatowany podgląd tekstu: 7. Znajdź średnią ruchomą reprezentację, reakcję impulsu i prognozę każdego z następujących procesów: a) (1- L) Y t t. b) (1-L) Y t t. c) Y t (1 1) t. i d) Y t (1 1) t. 8. Rozważmy proces autoregresji drugiego rzędu y t a 2 y t-2 t, gdzie 2 amplit 1. a. Znajdź: i. E t-2 y t ii. E t-1 y t iii. E t y t 2 iv. Cov (t t y t-1) v. Cov (t t y t-2) vi. częściowe autokorelacje 11 i 22 b. Znajdź funkcję odpowiedzi impulsu. Biorąc pod uwagę y t-2. śledzić wpływ na szok na sekwencję. do. Określ funkcję prognozy: E t y t s. Błąd prognozy) (zestaw jest różnicą między yts i e tyt s. Wynisz krążek regresji sekwencji. Wskazówka: Znajdź E t) (se t. Var) (se t. I) () (jsese E ttt dla j 0 do s. 9. Enders, rozdz. 2, pytanie 11. Zobacz cały dokument Zeszyt ten został załadowany na 09292017 na kurs ECON Econometri, którego nauczał profesor Fairlie w trakcie zimowego 03909 kadencji w UCSC. Kliknij, aby edytować szczegóły dokumentuRejestracja i konwersja sygnału cyfrowego (największe) zastosowano algebrę liniową, a mnożenie matrycy okazało się łatwe do uchwycenia w celu dopasowania koloru. Mieliśmy stałe wymiary 1 (liczba świateł testowych), 3 (ilość światła głównego, liczba fotokiwatorów), i 31 (liczba punktów próbkowania w rozkładzie mocy widmowej światła lub absorpcja widmowa pigmentu) i okazało się, że niektóre ważne fakty dotyczące wizji kolorowej mogą być modelowaniem jako rzutem wektorów widmowych o wyższej rozdzielczości do postaci niższy wymiar sional psychologicznej podprzestrzeni. Można też łatwo sprawdzić, jak ten pomysł działa, gdy modelował związek między niezależnymi zmiennymi (takimi jak warunki eksperymentalne) i zmiennymi zależnymi (np. Reakcjami podmiotowymi) lub próbował klasyfikować zestawy pomiarów wielowymiarowych (jak wartości formantu). Ale co to znaczy interpretować przetwarzanie sygnałów audio lub wideo jako mnożenia macierzy i dlaczego warto rozważyć prostą sprawę. Norma CD próbkuje fali dźwiękowej 44,100 razy na sekundę, dzięki czemu kawałek trwający 2:48 zawiera 7408 800 próbek (ignorując problem stereofoniczny). Załóżmy, że chcemy dostosować względną głośność niskich, średnich i wysokich częstotliwości, aby zrekompensować akustykę pomieszczenia, nasz system głośników lub nasz osobisty gust. Próbki 7.408.800 są elementami wektora, a dowolna funkcja wyrównywania (również pokazano później) jest liniowa, a każda transformacja liniowa jest równoważna mnożeniu matrycy, dzięki czemu możemy modelować jej wpływ na jeden kanał naszego utworu jako mnożenie przez 7.408.800 przez Matryca 7.408.800. Musimy tylko pomnożyć nasz 7.408.800-elementowy wektor kolumny przez tę matrycę, tworząc kolejny wektor kolumny z taką samą liczbą elementów - i to będzie nasz wyrównany kawałek dźwięku. Gdybyśmy chcieli operować na półgodzinnym nagraniu, skala operacji wzrosła proporcjonalnie. To nie wydaje się bardzo praktyczne. Jest to koncepcyjnie słuszne, a czasem warto pomyśleć o rzeczach w ten sposób. Jest to jednak (nie trzeba dodawać), że nie jest realizowana implementacja korektora DSP. Istnieje wiele prostszych sposobów, które są matematycznie równoważne dla systemów o określonych właściwościach, których macierze mają odpowiednie właściwości, które pozwalają na proste i wydajne wdrożenie równoważnych obliczeń. Ten temat może zostać skrócony do sloganu: Wpływ dowolnego liniowego, niezmiennego przesunięcia systemu na dowolny sygnał wejściowy uzyskiwany jest poprzez przekonanie sygnału wejściowego z odpowiedzią systemu na impuls jednostkowy. Aby zrozumieć, co to może być dobre, rozważyć kilka rzeczy w rzeczywistym świecie, które są (lub przynajmniej można z powodzeniem modelować jako) niezmiennicze systemy liniowego przesunięcia: Po zrozumieniu terminologii w tym sloganie, będzie to prawie od razu oczywiste, że jest to prawda, w pewnym sensie wykład ten jest głównie kwestią poznania pewnych definicji Już wiemy, czym jest system liniowy. Systemem niezmienniczącym zmiany jest taki, w którym przesunięcie wejścia zawsze przesuwa dane wyjściowe o taką samą wartość. Kiedy reprezentowano sygnały przez wektory, zmiana oznacza stałą liczbę całkowitą dodaną do wszystkich indeksów. Zatem przesunięcie wektora v przez n próbek powoduje, że we w taki sposób, że w (in) v (i). Uwaga: istnieje problem z tym, co zdarza się na krawędziach. Zatem w przypadku przesunięcia dodatniego n pierwszy element w powinien odpowiadać minus n elementowi v - ale v nie jest określony dla indeksów mniejszych niż 1 (lub zero, jeśli zdecydujemy się tam rozpocząć). Na drugim końcu znajduje się podobny problem. Konwencjonalna matematyka DSP rozwiązuje ten problem traktując sygnały jako nieskończone - zdefiniowane dla wszystkich indeksów od nieskończoności do nieskończoności. Sygnały rzeczywistego świata zazwyczaj zaczynają się i kończą. Jest to pytanie dobrze powracające do kilkukrotnie, w tym raz na koniec tego wykładu, gdy dobrze stanowi nieco bardziej formalne konto zarówno w perspektywie EEDSP, jak i perspektywie algebry liniowej. W przypadku sygnałów będących funkcjami czasu - tj. Gdy kolejność indeksów odpowiada ciągowi punktów czasowych - system niezmienniczy względem przesunięcia może równoważnie nazwać układem niezmienniczonym czasowo. Tutaj własność niezmienniczości zmiany biegów ma szczególnie intuicyjne znaczenie. Załóżmy, że słyszeliśmy jakiś rezonator akustyczny ze specjalnym sygnałem wejściowym o godzinie 12:00 w dniu 25 stycznia 1999 r. I otrzymaliśmy odpowiedź (niezależnie od tego), którą nagrywamy. Następnie sondujemy ten sam system znowu z tym samym wejściem, o godzinie 12:00 w dniu 26 stycznia 1999 roku. Oczekujemy, że nagrywamy ten sam sygnał - po prostu przesuwamy się do przodu o 24 godziny. jedna godzina lub jedna minuta. Wreszcie, jeśli hipotetycznie opóźnimy wejście o 1 milisekundę, oczekujemy, że wyjście będzie opóźnione o taką samą ilość - i pozostało niezmienione. Rezonator nie wie, jaka jest godzina, i reaguje w ten sam sposób, niezależnie od tego, kiedy jest sondowane. Impuls jednostkowy (dla obecnych celów) jest tylko wektorem, którego pierwszym elementem jest 1, a wszystkie pozostałe elementy są równe 0. (Dla elektryków sygnały cyfrowe o nieskończonym zasięgu, impuls jednostkowy wynosi 1 dla indeksu 0 i 0 dla wszystkich inne wskaźniki, od nieskończoności do nieskończoności). Dobrze pracuje nad tym, co to jest splot, dając prosty przykład. Pokazuje wykres 50 próbki (około 6 milisekund) przebiegu mowy. Przedstawiały to przebiegi jako sekwencję liczb - wektor - iz tego punktu widzenia bardziej odpowiednią graficzną reprezentacją tych samych danych jest wykres lizak, który pokazuje nam każdą próbkę jako małą lizak, która wystaje w górę lub w dół od zera : Pozwala powiększyć tylko sześć pierwszych liczb: Matlab powie nam swoje konkretne wartości: Możemy myśleć o sześciocyfrowym wektorze s jako sumie sześciu innych wektorów od s1 do s6. z których każda ma tylko jedną z jej wartości, a wszystkie inne wartości są równe zeru: Przypomnijmy, że impuls (w obecnym kontekście, w każdym razie) jest wektorem, którego pierwszy element ma wartość 1, a wszystkie jej kolejne elementy są zero. Wektor weeve zwany s1 jest impulsem pomnożonym przez 10622. Wektor s2 jest impulsem przesuniętym na prawo przez jeden element i skalowany przez 5624. W ten sposób rozkładamy s na zestaw skalowanych i przesuniętych impulsów. Powinno być jasne, że możemy to zrobić na dowolny wektor. Ten sam dekompozycja przedstawiała się graficznie: dlaczego tak ciekawe Cóż, rozważ jakiś arbitralny zmienny-niezmienniczy system liniowy D. Załóżmy, że stosujemy D (bez wiedzy o tym więcej) do impulsu, z wynikiem przedstawionym poniżej: pierwsza próbka wyjścia wynosi 1, druga próbka wynosi -1, a reszta próbek wynosi 0. Wynik jest odpowiedzią impulsową D. To wystarczy, aby przewidzieć wynik zastosowania D do naszych skalowanych i przesuniętych impulsów, s 1. s n. Ponieważ D jest niezmiennikiem zmiennym. efekt przesunięcia wejścia jest po to, aby przesunąć wyjście o taką samą wartość. Zatem dane wejściowe składające się z impulsu jednostkowego przesunięte o jakąkolwiek arbitralną ilość będą generowały kopię odpowiedzi impulsowej. przesunięte tą samą kwotą. Wiemy też, że D jest liniowy. a zatem skalowany impuls jako wejście spowoduje wytworzenie skalowanej kopii odpowiedzi impulsu. Używając tych dwóch faktów, możemy przewidzieć odpowiedź D na każdą z skalowanych i przesuniętych impulsów 1. s n. Jest to pokazane graficznie poniżej: Jeśli zorganizujemy odpowiedzi na s1. s6 jako wiersze matrycy, rzeczywiste liczby będą wyglądać następująco: (Układ tych wyjść jako rzędów matrycy jest wyłącznie wygodą typograficzną, zauważmy także, że pozwolimy, aby odpowiedź na wejście s6 spadała na końcu świata , tak mówiąc) Te informacje z kolei są wystarczające, aby przewidzieć odpowiedź systemu D na oryginalny wektor s. (przez konstrukcję) jest tylko sumą s1 s2 s3 s4 s5 s6. Ponieważ D jest liniowe, zastosowanie go do tej sumy jest takie samo jak zastosowanie go do poszczególnych składników sumy i dodawanie wyników. Jest to suma kolumn macierzy pokazanej powyżej: (suma Matlaba, zastosowana do matrycy, tworzy wektor wierszy sum kolumn). Zauważ, że (przynajmniej dla drugiej pozycji w sumie i dalej) powoduje to wyjście w pozycji i równe różnicy między wejściem w pozycji i i wejściem w pozycji i-1. Innymi słowy, D oblicza pierwszą różnicę jego wejścia. Powinno być jasne, że ta sama podstawowa procedura będzie działać dla dowolnego systemu zmiennego niezmienniczającego zmiany, a dla każdego wejścia do takiego systemu: wyrażenie danych wejściowych jako sumy skalowanych i przesuniętych impulsów obliczających odpowiedź na każdy z nich poprzez skalowanie i przesuwanie odpowiedź układu impulsowego systemu zwiększa powstały zestaw skalowanych i przesuwnych odpowiedzi impulsowych. Ten proces dodawania zestawu przeskalowanych i przesuniętych kopii jednego wektora (tutaj odpowiedzi na impuls), przy użyciu wartości innego wektora (tutaj wejście) jako wartości skalowania, jest splotem - przynajmniej jest to jeden ze sposobów zdefiniowania to. Innym sposobem: splot dwóch wektorów a i b jest definiowany jako wektor c. którego element k jest (w kategoriach MATLAB-ish) (1 w k1-j wynika z faktu, że indeksy MATLAB mają złe poczucie smaku zaczynające się od 1, a nie matematycznie bardziej eleganckie 0). Ta formuła pomaga wskazać, że możemy też myśleć o splocie jako procesie przebiegu bieżącej średniej ważonej sekwencji - to jest, że każdy element wektora wyjściowego jest liniową kombinacją niektórych elementów jednego wektora wejściowego - - gdzie odważniki są pobierane z innego wektora wejściowego. Istnieje kilka małych problemów: jak długo powinno być i co należy zrobić, jeśli k 1- j jest ujemne lub większe niż długość b. Problemy te to wersja efektów krawędziowych, które już nam powiedzieli, i zobaczymy ponownie. Jednym z możliwych rozwiązań jest wyobrażenie sobie, że rozwiążemy dwie nieskończone sekwencje utworzone przez osadzenie a i b w oceanie zer. Teraz arbitralnych wartości indeksowych - ujemnych, tych, które wydawały się zbyt duże --- mają sens. Wartość rozszerzonego i rozszerzonego b dla wartości indeksowych poza ich rzeczywistym zakresem jest obecnie doskonale zdefiniowana: zawsze zero. Wynik równania 1 będzie kolejną sekwencją o nieskończonej długości c. Niewielka myśl przekona cię, że większość c będzie z konieczności równa zero, ponieważ niezerowe masy od b, a niezerowe elementy woli nie pokrywają się w tych przypadkach. Ile elementów c ma szansę być niezerową Dobrze, tylko te liczby całkowite k, dla których jest co najmniej jedna liczba całkowita j tak, że 1 lt j lt długość (a) i 1 lt k1-j lt długość (b). Z nieco większą myślą widać, że oznacza to, że długość c będzie mniejsza niż suma długości aib. Odnosząc się ponownie do równania 1 i wyobrażając sobie dwa wektory aib, które są osadzone w ich morzach zerowych, możemy zobaczyć, że otrzymamy właściwą odpowiedź, jeśli pozwolimy, aby k działało od 1 do długości a) długość b) 1, a dla każdej wartości k. umożliwić j bieganie od maksimum (1, k1-długość (b)) do min (k, długość (a)). Znowu wszystko to znajduje się w indeksie MATLAB i dlatego możemy je przenieść bezpośrednio do programu MATLAB myconv (), aby wykonać splot: To da nam tylko kawałek konceptualnie nieskończonego c, który ma szansę być niezerową . MATLAB ma wbudowaną funkcję convolution conv (), więc możemy porównać ten, który właśnie napisaliśmy: na marginesie warto wspomnieć, że splot również da nam poprawne wyniki, jeśli myślimy o a, b i c jako współczynniki wielomianów, przy czym współczynnik wielomianu wynika z mnożenia a i b razem. Tak więc splot jest izomorficzny do mnożenia wielomianów, tak że np. można również interpretować w ten sposób, że (2x3) (4x5) 8x2 22x15 i może być interpretowany w ten sposób, że (3x 4) (5x2 6x 7) 15x3 38x2 45x 28 Jeśli uważasz, że to wynika z natychmiastowego przełożenia mnożenia, że również konwertuje (i jest asocjacyjny i rozprowadza nad dodawaniem). Możemy przykładowo przedstawić te właściwości empirycznie: są to ważne punkty, więc jeśli nie od razu zauważą, że są one prawdziwe, spędzić trochę czasu na równiku 1 lub operatorze splotów w Matlabie i przekonać się. Weve dał dwa obrazy conv (a, b): w jednym dodamy kilka skalowanych i przesuniętych kopii a, każda kopia skalowana o jedną wartość b i przesunięta w celu dopasowania do położenia tej wartości w b . w drugim używamy bieżącej ważonej średniej a, biorąc b (do tyłu) jako ciężarki. Widzimy związek między tymi dwoma obrazami, wyrażając równanie 1 w postaci matrycy. Myśleliśmy, że b jako odpowiedź impulsową systemu, jako dane wejściowe, a c jako wyjście. Oznacza to, że macierz dla S będzie mieć wymiary długość (c) przez długość (a), jeśli c S a ma być prawnie matematyczna. Każdy element wyjściowy c będzie produktem wewnętrznym rzędu S z wejściem a. Będzie to dokładnie równanie 1, jeśli wiersz S jest tylko b. odwrócony czasowo, przesuwany i odpowiednio wyściełany zerami. Kiedy b wyskakuje poza obraz, po prostu przesuwamy zerami z morza zerami, wyobrażamy sobie, że się unoszą. Mała modyfikacja naszego programu splotów dostarczy niezbędnej macierzy: Tak więc cmat (a, b) tworzy operator macierzy C, który może być pomnożony przez wektor a, aby uzyskać dokładnie taki sam efekt jak splot z a b: Działa to, ponieważ rzędy C są odpowiednio przesunięte (wstecznie) kopie b - lub równoważnie, ponieważ kolumny C są odpowiednio przesunięte (do przodu) kopie b. Daje to nam dwa obrazy operatorów splotowych: TRYB OGRANICZONY PRĘDKOŚCI WEWNĘTRZNYCH: rzędy C są przesuwane w tył kopii b. a wewnętrzny produkt każdego rzędu dał nam średnią ważoną odpowiedniej części a. które trzymamy w odpowiednim miejscu na wyjściu c. SUM SKALOWANYCH I PRZEPŁYWANYCH KOPII ODPOWIEDZIALNOŚCI IMPULSOWEJ: Kolumny C są przeniesionymi kopiami b. Biorąc pod uwagę inny sposób mnożenia macierzy, mianowicie, że dane wyjściowe są sumą kolumn C ważonych elementami a. daje nam inny obraz splotu, mianowicie dodanie zestawu skalowanych i przesuniętych kopii odpowiedzi impulsowej b. Większy przykład: Podczas pracy nad szczegółami splotu musieliśmy poradzić sobie z efektem krawędzi: fakt, że równanie 1 (convolution) (równanie 1) implikuje wartości indeksowe dla wejściowych o ograniczonej długości a i b poza zakresem, w jakim są zdefiniowane . Oczywiście możemy wybrać wiele różnych sposobów dostarczenia brakujących wartości - ten szczególny wybór zależy od tego, co robimy. Są pewne przypadki, w których koncepcja zerowego morza jest dokładnie poprawna. Istnieją jednak alternatywne sytuacje, w których inne pomysły mają większy sens. Na przykład możemy pomyśleć o b, siedząc w morzu nieskończenie wielu powtarzających się egzemplarzy siebie. Ponieważ oznacza to, że indeks odcina się od końca b owijając się na drugi koniec modułową modą, podobnie jak gdyby b znajdował się na kole, rodzaj splatania, którego wyniki nazywamy okrągłym splotem. Pamiętaj o tym: wrócimy do tego w późniejszym wykładzie. Tymczasem powtórzmy slogan, na który zaczęliśmy: Efekt dowolnego liniowego, niezmiennego przesunięcia systemu na dowolnym sygnale wejściowym uzyskiwany jest poprzez przekonanie sygnału wejściowego z odpowiedzią systemu na impuls jednostkowy. (Zauważ, że jest to ta sama własność systemów liniowych, jakie obserwowaliśmy w przypadku dopasowywania kolorów - gdzie moglibyśmy się nauczyć wszystkiego, co musimy wiedzieć o systemie, badając je z ograniczonym zestawem wejść monochromatycznych. liniowy, a nie zmienny, analogia tutaj będzie polegała na sondowaniu impulsów jednostkowych na każdą możliwą wartość indeksu - każda taka sonda dała nam jedną kolumnę matrycy systemu. Było to praktycznie 31-elementowe wektora, ale to byłoby mniej atrakcyjne z wektorami milionów lub miliardów elementów Jeśli jednak system jest niezmienny, to wystarczy tylko sonda o jednym impulsie, ponieważ można przewidzieć reakcje wszystkich przesuniętych przypadków.) Konwolucja zawsze może być postrzegana jako mnożenie macierzy - to musi być prawdziwe, ponieważ system, który może być zaimplementowany przez splot jest systemem liniowym (a także jest niezmiennikiem zmiany). Niezmienność Shift oznacza, że macierz systemu ma szczególne zwolnienia. Gdy odpowiedź impulsowa jest skończona, to slogan jest nie tylko matematycznie prawdziwy, ale też często jest praktycznie praktycznym sposobem na wdrożenie systemu, ponieważ możemy zaimplementować splot w stałej liczbie wielokrotności na próbkę wejściową (dokładnie wiele, ponieważ w reakcji na impulsy układu są niezerowe wartości). Systemy tego typu są na ogół nazywane filtrami odpowiedzi impulsowej skończonych (FIR) lub równoważnymi średnimi filtrami. Gdy odpowiedź impulsu ma nieskończony czas (ponieważ doskonale może być w systemie niezmienniczym przesunięcia liniowego), to hasło to pozostaje matematycznie prawdziwe, ale ma mniej praktyczne znaczenie (chyba, że odpowiedź impulsu może zostać skrócona bez znaczącego efektu). Cóż, dowiedz się później, jak efektywnie stosować nieskończone filtry odpowiedzi impulsowej (IIR). Perspektywa EEDSP. Celem tego działu jest opracowanie podstawowego materiału na odpowiedź impulsową i splot w stylu, który jest powszechny w literaturze cyfrowej przetwarzania sygnałów w dyscyplinie inżynierii elektrycznej, aby pomóc poznać typ zapisu, że jesteś prawdopodobnie tam spotkać. Również być może przechodzimy nad tymi samymi pomysłami ponownie w innym notatniku pomoże Ci przyswoić sobie thm - ale uważaj, aby zachować notację DSPEE w twoim umyśle od liniowej notacji algebraicznej, lub stanie się bardzo zdezorientowana W tej perspektywie traktujemy sygnał cyfrowy s jako nieskończenie długi ciąg liczb. Możemy dostosować matematyczną fikcję nieskończoności do codziennej skończonej rzeczywistości, zakładając, że wszystkie wartości sygnału są zero poza pewną podtekstem o skończonej długości. Pozycje w jednej z tych nieskończenie długich sekwencji liczb są indeksowane przez liczby całkowite, a więc przyjmujemy, że s (n) oznacza n-tą liczbę w sekwencji s, nazywaną zwykle krótszą. Czasami alternatywnie użyjemy s (n), aby odnieść się do całej sekwencji s. przez myślenie n jako wolna zmienna. Pozwolimy indeksowi n w zakresie liczby ujemnych, jak i dodatnich, a także zero. Tak więc, gdy nawiasy klamrowe są znacznikami notacji, tak że całe wyrażenie oznacza zbiór liczb s (n), gdzie n przyjmuje wszystkie wartości od minus nieskończoności do nieskończoności. Będziemy odnosić się do poszczególnych numerów w sekwencji jako elementów lub próbek. Próbka tekstowa pochodzi z faktu, że zazwyczaj uważamy, że sekwencje takie jako dyskretnie wzorcowane wersje ciągłych funkcji, takie jak wynik pobierania próbek fali akustycznej na pewną skończoną liczbę razy na sekundę, ale w rzeczywistości niczego, co zostało przedstawione w tej sekcji zależy od sekwencji będącej czymś innym niż uporządkowany zestaw liczb. Impuls jednostkowy lub sekwencja próbek. napisany, to sekwencja, która w jednym punkcie próbki zerowej i zero gdzie indziej: grecka siła sigma,, wymowna suma. jest używany jako notatnik do sumowania zbioru liczb, zazwyczaj poprzez posiadanie pewnej zmiennej przyjmowania określonego zestawu wartości. Tak więc skrót dla jest skrótem dla notacji jest szczególnie pomocny w odniesieniu do sum nad sekwencjami. w sensie sekwencji używanej w tej sekcji, jak w następującym prostym przykładzie. Sekwencja kroków jednostkowych. zapisany u (n) jest sekwencją, która jest równa zeru we wszystkich punktach próbki mniejsza niż zero, a 1 we wszystkich punktach próbek większych lub równych zero: sekwencja kroków jednostkowych może być również otrzymana jako skumulowana suma impulsu jednostkowego: Do n -1 suma będzie równa 0, ponieważ wszystkie wartości dla n n n wynosi 0 przy n 0 skumulowane skoki sumy do 1, a łączna suma pozostaje na 1 dla wszystkich wartości n większych niż. ponieważ wszystkie pozostałe wartości są równe 0. Nie jest to szczególnie imponujące użycie notacji, ale powinno pomóc zrozumieć, że rozsądne może być mówienie o nieskończonych sumach. Zauważmy, że możemy również wyrazić relacje między u (n) a drugim: Ogólnie warto porozmawiać o zastosowaniu zwykłych operacji arytmetycznych do sekwencji. W ten sposób możemy zapisać produkt sekwencji xi y jako xy. co oznacza sekwencję złożoną z produktów odpowiadających im elementów (a nie produktu wewnętrznego): Podobnie suma sekwencji x i y może być zapisana x y. znaczenie Sekwencja x może być pomnożona przez skalar, co oznacza, że każdy element x jest indywidualnie pomnożony: wreszcie sekwencja może być przesunięta o dowolną liczbę całkowitą punktów próbkowych: Użyliśmy tej notacji, gdy wykazywaliśmy impuls jednostkowy sekwencji w odniesieniu do sekwencji kroków jednostkowych, jako różnicy między daną próbką a bezpośrednio poprzednią próbką. Każda sekwencja może być wyrażona jako suma skalowanych i przesuwanych próbek jednostkowych. Koncepcyjnie jest to trywialne: po każdej próbce oryginalnej sekwencji tworzymy nową sekwencję, której jedynym niezerowym elementem jest ta wybrana próbka, i dodajemy wszystkie te sekwencje pojedynczych próbek w celu utworzenia oryginalnej sekwencji. Każda z tych pojedynczych próbek (każda sekwencja zawiera nieskończenie wiele próbek, ale tylko jedna z nich jest niezerowa) mogą być z kolei reprezentowane jako impuls jednostkowy (próbka o wartości 1 znajdującej się w punkcie), skalowana przez odpowiednie wartość i przeniesiona do odpowiedniego miejsca. W języku matematycznym jest to, gdzie k jest zmienną, która wybiera każdą z oryginalnych próbek, wykorzystuje jej wartość do skalowania impulsu jednostkowego, a następnie przesuwa wynik do położenia wybranej próbki. System lub przekształca T odwzorowuje sekwencję wejściową x (n) na sekwencję wyjściową y (n): 1. Motywujący przykład Jeśli w poprzednim kwartale roku 8217 osiągnięto inflację w stosunku do poprzedniego kwartału roku 8217, wykorzystując dane z FRED w okresie od 3 do 31 lipca do czwartego kwartału roku 2017, otrzymasz wynik AR (1), w którym liczba w nawiasie oznacza standardowego błędu i serii czasowych inflacji, została obalona. Innymi słowy, jeśli stopa inflacji jest wyższa w I i II kw. 2018 r., Średnio będzie ona wyższa w II i II kw. 2018 r., Wyższe w III kw. 2018 r., A więc w roku 8230 Funkcja opisująca kaskadę przyszłej stopy inflacji zmiany spowodowane nieoczekiwanym wstrząsem w okresie znany jest jako funkcja odpowiedzi impulsowej. Jednak wiele interesujących zjawisk w szeregach czasowych obejmuje wiele zmiennych. Przykładowo, Brunnermeier i Julliard (2008) wskazują, że wskaźnik cen domów cenowych, jest odwrotnie proporcjonalny do stopy inflacji. Jeśli w poprzednim kwartale roku 8217 zrezygnujesz z obecnych poziomów inflacji i stawek z tytułu aprecjacji cen domów, stosując poniżane dane z indeksu Case-ShillerS038P. to otrzymasz: Powyższe szacunki wskazują, że jeśli stopa inflacji była wyższa w I i II kw. 2018 r., to stopa inflacji byłaby wyższa w II kw. 2018 r., a stopa aprecjacji ceny domów byłaby niższa w II kw. -2018 r. Obliczanie funkcji odpowiedzi impulsowej dla tej regresji wektorowej (VAR) jest trudniejsze niż obliczanie tej samej funkcji dla współczynnika AR (1) inflacji, ponieważ współzależność od stopy inflacji i szokowych stresów cen domowych są: kiedy zobaczysz punktowy wstrząs z powodu inflacji, również zauważasz szok punktowy w stosunku do kursu wyceny domów. Zatem obliczanie przyszłych skutków wstrząsu do poziomu inflacji i szok punktowy do tempa aprecjacji ceny domów daje informacje o jednostkowym wstrząsie, który nie dzieje się w świecie rzeczywistym. W tym poście pokazuję, jak obliczyć ten rodzaj korelacji podczas obliczania funkcji odpowiedzi impulsowej dla VAR. Oto odpowiedni kod. 2. Funkcja odpowiedzi impulsowej Przed przystąpieniem do testowania VAR, let8217 najpierw dokładniej określają funkcję odpowiedzi impulsowej w świecie skalarnym. Załóżmy, że mamy dane generowane przez AR (1), gdzie,, i. Na przykład, jeśli weźmiemy pod uwagę kwartalne dane o inflacji, to. W tej konfiguracji, co by się stało, gdyby nastąpiło nagłe wstrząśnienie w okresie Jak byśmy oczekiwali poziomu zmiany? Co z poziomem Or, poziom dowolnego dla punktu Jak skokowy szok obecnej stopy inflacji przyszłe kwartały Cóż, to łatwo obliczyć oczekiwane przez czas oczekiwania na: Iterowanie tej samej strategii, a następnie przewiduje czas: Więc w ogóle oczekiwanie na przyszłość będzie podane wzorem, a funkcja odpowiedzi impulsowej proces AR (1) będzie: jeśli wiedziałeś, że nastąpiło nagłe wstrząsanie wielkością, wtedy twoje oczekiwania będą zmieniać się o kwotę. Poniższy rysunek przedstawia funkcję odpowiedzi impulsowej przy użyciu estymatu punktu AR (1) za pomocą równania (1). Jest jeszcze inny, nieco inny sposób myślenia o funkcji odpowiedzi impulsowej8212należy, jako współczynników do ruchomą średnią reprezentacji serii czasowych. Zastanów się nad ponownym zapisem procesu generowania danych przy użyciu operatorów opóźniających, gdzie, i tak dalej8230 Gdy wartość współczynnika nachylenia jest mniejsza niż, to wiemy, że istnieje średnia ruchoma: oznacza to, że zamiast pisać każdy w funkcji opóźniona wartość, a jednocześnie wstrząs, możemy zamiast tego reprezentować każdy jako średnią ważoną wszystkich przeszłych wstrząsów, które zostały zrealizowane, a ostatnie wstrząsy były mocno ważone. Jeśli normalizujemy wszystkie wstrząsy, aby mieć wariancję jednostkową, wówczas wagi będą podawane przez funkcję odpowiedzi impulsowej: oczywiście jest to dokładnie to, czego oczekujesz na proces stacjonarny kowariancji. Wpływ przeszłych wstrząsów na aktualnie realizowaną wartość był lepszy niż wpływ obecnych wstrząsów na przyszłe wartości. 3. Od AR do VARs We8217ve właśnie widział jak obliczyć odpowiedź impulsową dla procesu AR (1). Let8217s teraz zbadać, jak rozszerzyć to ustawienie, gdzie istnieją dwie serie czasu, a nie tylko. Ta para równań może być zapisana w postaci matrycy w następujący sposób, gdzie i. Na przykład, jeśli uważasz, że jako kwartalna stopa inflacji i jako kwartalna stopa aprecjacji ceny domów, wówczas macierz współczynników jest podana w równaniu (2). Nic o budowie ruchomej średniej reprezentacji wymagało tego, że jest skalarem, więc możemy użyć dokładnie tych samych sztuczek do napisania wektora wymiarowego jako średniej ruchomej: Ale w tym ustawieniu ważności wektora jest dużo mniej jasne, jak to zrobić, odzyskać funkcję odpowiedzi impulsowej z ruchomą średnią reprezentacją. Inaczej mówiąc, analogi matrycy z Let8217s używają operatora chcącego. Ta matryca tajemnicza, nazywająca to niech, musi mieć dwa różne właściwości. Po pierwsze, it8217 musiały przeskalować wektor wstrząsów, do czegoś, co ma jednostkową normę, w taki sam sposób jak w powyższej analizie. Dlatego I8217m pisze tajemnicę, a nie tylko. Po drugie, matryca musi uwzględniać fakt, że wstrząsy i korelacje, tak, że wstrząsy do stopy inflacji zawsze towarzyszą wstrząsom punktowym do tempa aprecjacji ceny domów. Ponieważ wstrząsy każdej zmiennej mogą mieć różne odchylenia standardowe, na przykład wpływ wstrząsów na stopę inflacji względem kursu aprecjacji ceny domów, różni się od wpływu wstrząsów na aprecjację ceny domów stopa inflacji,. Zatem każda zmienna wektora będzie miała własną funkcję odpowiedzi impulsowej. Właśnie dlatego piszę tajemnicę jako raczej. Okazuje się, że jeśli zdecydujemy się na rozkład Cholesky, wtedy będziemy mieć obie właściwości, które chcemy, jak wskazano w Sims (1980). Prosty wymiar sprawa jest naprawdę użyteczny dla zrozumienia, dlaczego. Na początek, let8217 wypisz matrycę wariancji i kowariancji wstrząsów, jak poniżej, gdzie. Rozkład Cholesky'ego można następnie rozwiązać ręcznie: Ponieważ pracujemy tylko z matrycą trójwymiarową, możemy też ręcznie rozwiązać problem: na przykład jeśli jest para wstrząsów, wtedy przekształcamy ten szok w: Innymi słowy, matryca jest przeskalowana, aby mieć jednostkową normę, i obraca wektor, aby uwzględnić korelację między i. Aby ocenić, w jaki sposób rotacja uwzględnia dodatnią korelację pomiędzy i, zauważyć, że matryca przekształca wstrząs w wektor, który wskazuje odchylenie standardowe w kierunku i w kierunku. Oznacza to, że gdybyś zauważyła pozytywny wstrząs, obserwując wstrząs byłby zaskakująco niski wynik. Jeśli połączymy się z naszą ruchomą średnią reprezentacją, otrzymamy poniższe wyrażenie, co oznacza, że funkcja odpowiedzi impulsowej jest podana przez: Figura poniżej przedstawia działanie impulsowej odpowiedzi na obydwie impulsy i implikuje szok jednostkowy do użycia coefficient matrix from Equation (2 ). Post navigationFIR filters, IIR filters, and the linear constant-coefficient difference equation Causal Moving Average (FIR) Filters Weve discussed systems in which each sample of the output is a weighted sum of (certain of the) the samples of the input. Pozwala wziąć system sumy ważenia przyczynowego, gdzie przyczynowa oznacza, że dana próbka wyjściowa zależy tylko od bieżącej próbki wejściowej i innych wejść wcześniejszych w sekwencji. Niezależnie od systemów liniowych w ogóle, ani w konkretnych systemach odpowiedzi impulsowych, nie jest przyczynowo. Jednak przyczynowość jest dogodna dla pewnej analizy, która niedługo się zbadać. Jeśli symbolizujemy wejścia jako wartości wektora x. i wyjścia jako odpowiadające im wartości wektora y. wtedy taki system może być zapisany jako miejsce, gdzie wartości b są wierszami ilościowymi zastosowanymi do obecnych i wcześniejszych próbek wejściowych w celu pobrania próbki wyjściowej. Możemy myśleć o wyrażeniu jako równaniu, ze znakiem równości oznacza równe lub jako instrukcję proceduralną, a znakiem równości oznacza przyporządkowanie. Pozwala napisać wyrażenie dla każdej próbki wyjściowej jako pętli instrukcji przypisania MATLAB, gdzie x jest wektorem długości N próbek wejściowych, a b jest wektorem długości ciężaru M. Aby poradzić sobie ze szczególnym przypadkiem na początku, umieścimy x w dłuższym wektorze xhat, którego pierwsza próbka M-1 wynosi zero. Będziemy pisać ważone sumy dla każdego y (n) jako wewnętrznego produktu i będą manipulować wejściami (jak odwrócenie b) w tym celu. Tego rodzaju system jest często nazywany filtrem ruchomym, z oczywistych względów. Z naszych wcześniejszych dyskusji powinno być oczywiste, że taki system ma charakter liniowy i niezmienny. Oczywiście byłoby znacznie szybsze użycie funkcji konwekcyjnej MATLAB conv () zamiast naszego mafilt (). Zamiast rozważać pierwsze próbki M-1, które mają być zero, możemy uznać je za identyczne z ostatnimi próbkami M-1. To samo traktuje wejście jako okresowe. Użyj funkcji cmafilt () jako nazwy funkcji, niewielkiej modyfikacji wcześniejszej funkcji mafilt (). Przy określaniu odpowiedzi impulsowej systemu zazwyczaj nie ma żadnej różnicy między tymi dwoma, ponieważ wszystkie nieoryginalne próbki wejścia są równe zeru: Ponieważ system tego typu jest liniowy i niezmienny, wiadomo, że jego wpływ na każdy sinusoida będzie tylko skalować i przesuwać. Tutaj ważne jest, że używamy okrągłej wersji Okrągle-convolved wersja jest przesuwane i skalowane nieco, podczas gdy wersja z zwykłym splotem jest zniekształcony na samym początku. Pozwala zobaczyć, co dokładne skalowanie i przesunięcie jest za pomocą fft: Zarówno wejście i wyjście mają amplitudy tylko w częstotliwościach 1 i -1, co jest tak, jak powinno być, biorąc pod uwagę, że wejście było sinusoidy i system był liniowy. Wartości wyjściowe są większe w stosunku 10,62518 1,3281. To jest zysk z systemu. Co na temat fazy Musimy tylko sprawdzić, gdzie amplituda jest niezerowa: wejście ma fazę pi2, jak poprosiliśmy. Fazę wyjściową przesuwa się o dodatkowe 1.0594 (z przeciwnym znakiem dla częstotliwości ujemnej) lub o około 16 cyklu po prawej stronie, co widać na wykresie. Teraz spróbujmy sinusoidy o tej samej częstotliwości (1), ale zamiast amplitudy 1 i fazy pi2, spróbujmy spróbować amplitudy 1.5 i fazy 0. Wiemy, że tylko częstotliwość 1 i -1 będzie miała amplitudę niezerową, więc po prostu spróbujmy na nich: Ponownie współczynnik amplitudy (15.937712.0000) wynosi 1.3281 - a co do fazy przesuwa się o 1.0594 Jeśli te przykłady są typowe, możemy przewidzieć wpływ naszego systemu (reakcja impulsowa .1 .2 .3 .5) na każdej sinusoidzie o częstotliwości 1 - amplituda zostanie zwiększona o współczynnik 1.3281, a faza (częstotliwość dodatnia) zostanie przesunięta o 1.0594. Możemy dalej obliczyć wpływ tego systemu na sinusoidy innych częstotliwości za pomocą tych samych metod. Ale jest znacznie prostszy sposób i jeden, który ustala ogólny punkt. Ponieważ (okrągły) splot w dziedzinie czasowej oznacza mnożenie w dziedzinie częstotliwości, z tego wynika, że Innymi słowy, DFT odpowiedzi impulsowej jest stosunek DFT wyjścia do DFT wejścia. W tym stosunku współczynniki DFT są liczbami zespolonymi. Ponieważ abs (c1c2) abs (c1) abs (c2) dla wszystkich liczb zespolonych c1, c2, to równanie mówi nam, że widmo amplitudy odpowiedzi impulsowej zawsze będzie miało stosunek widma amplitudy wyjściowego do sygnału wejściowego . W przypadku widma fazowego kąta (c1c2) kąt (c1) - kąt (c2) dla wszystkich c1, c2 (z tym, że różne fazy różnią się od siebie n2pi). Dlatego widmo fazowe odpowiedzi impulsowej zawsze będzie różniło się między widmami fazy wyjściowej i wejściowej (niezależnie od korekcji przez 2pi, aby zachować wynik między - pi a pi). Efekty fazowe możemy zobaczyć bardziej wyraźnie, jeśli odwzorowujemy reprezentację fazy, tzn. Jeśli w miarę potrzeb będziemy dodawać różne wielokrotności 2pi, aby zminimalizować skoki powstałe w wyniku okresowego charakteru funkcji kąta (). Chociaż amplituda i faza są zwykle wykorzystywane do prezentacji graficznej i równomiernej, ponieważ są one intuicyjnym sposobem na pomyślenie o wpływie systemu na różne składowe częstotliwości jego wejścia, skomplikowane współczynniki Fouriera są bardziej użyteczne algebraicznie, ponieważ pozwalają prosta ekspresja relacji Podejście ogólne, które widzieliśmy, będzie współpracować z arbitralnymi filtrami zarysowanego szkicu, w którym każda próbka wyjściowa jest ważoną sumą niektórych zestawów próbek wejściowych. Jak wspomniano wcześniej, są to często filtry filtru Impulse Response, ponieważ odpowiedź impulsowa ma skończoną wielkość, a czasami przewyższa średnie filtry. Możemy określić charakterystykę odpowiedzi częstotliwościowej takiego filtra z FFT jego odpowiedzi impulsowej, a także możemy zaprojektować nowe filtry o pożądanych właściwościach IFFT ze specyfikacji odpowiedzi częstotliwościowej. Filtry autoregresywne (IIR) Niewiele miałoby sens w nazwach filtrów FIR, chyba że istnieją jakieś inne rodzaje, aby je odróżnić, a więc ci, którzy studiowali pragmatykę, nie będą zdziwieni, gdy dowiedzą się, że rzeczywiście jest inny inny rodzaj liniowego filtru niezmiennego czasowo. Filtry te są czasem nazywane rekurencyjnymi, ponieważ ważą się wartości poprzednich wyjść (jak również poprzednich wejść), chociaż algorytmy są zazwyczaj zapisywane za pomocą konstruktów iteracyjnych. Są one nazywane filtrami Infinite Impulse Response (IIR), ponieważ w ogólności ich odpowiedź na impuls idzie na zawsze. Są one czasami nazywane filtrami autoregresywnymi, ponieważ współczynniki mogą być traktowane jako wynik regresji liniowej do wyrażania wartości sygnału w funkcji wcześniejszych wartości sygnału. Zależność filtrów FIR i IIR może być wyraźnie widoczna w liniowym równoważniku różnicy współczynników stałych, tzn. Ustawia ważoną sumę wyjść równą liczbie ważonych wejść. Jest to podobne do równania, które daliśmy wcześniej dla filtra FIR związku przyczynowego, za wyjątkiem tego, że oprócz ważonej sumy wejść, mamy również ważoną sumę wyników. Jeśli chcemy o tym myśleć jako procedurę generowania próbek wyjściowych, musimy przekształcić równanie, aby uzyskać wyrażenie dla próbki wyjściowej y (n), Przyjęto konwencję, że a (1) 1 (np. Skalując inne jako i bs), możemy pozbyć się terminu 1a (1): y (n) b (1) x (n) b (2) x (n-1). b (Nb1) x (n-nb) - a (2) y (n-1) -. - a (Na1) y (n-na) Jeśli wszystkie a (n) inne niż a (1) są równe zeru, to zmniejsza się do naszego starego przyjaciela przyczyny filtr FIR. Jest to ogólny przypadek filtra LTI (przyczynowości) i jest realizowany przez filtr funkcji MATLAB. Przyjrzyjmy się przypadkowi, w którym współczynniki b inne niż b (1) są równe zero (zamiast przypadku FIR, gdzie a (n) wynosi zero): W tym przypadku próbka wyjściowa y (n) jest obliczana jako ważona kombinacja bieżącej próbki wejściowej x (n) i poprzednich próbek wyjściowych y (n-1), y (n-2) itp. Aby zrozumieć, co się dzieje z tymi filtrami, zacznij od przypadku, gdy: Oznacza to, że próbka wyjściowa jest sumą bieżącej próbki wejściowej i pół poprzedniej próbki wyjściowej. Weź impuls wejściowy przez kilka kroków czasowych, po jednym na raz. Powinno być jasne, że w tym momencie możemy łatwo napisać wyrażenie dla n-tej wartości próbki wyjściowej: to jest tylko (jeśli MATLAB liczy się od 0, byłoby to po prostu .5n). Ponieważ obliczymy odpowiedź impulsową systemu, wykazaliśmy na przykładzie, że odpowiedź impulsowa może rzeczywiście zawierać nieskończenie wiele próbek innych niż zerowe. Aby zaimplementować ten trywialny filtr pierwszego rzędu w programie MATLAB, możemy użyć filtru. Połączenie będzie wyglądało tak: i wynik: Czy to przedsiębiorstwo jest naprawdę liniowe? Możemy przyjrzeć się tym empirycznie: w bardziej ogólnym podejściu warto rozważyć wartość próbki wyjściowej y (n). Przez kolejną podstawę moglibyśmy napisać to jako To jest tak, jak nasz stary przyjaciel, splotowa forma filtru FIR, z odpowiedzią impulsową dostarczoną przez wyrażenie .5k. a długość odpowiedzi impulsowej jest nieskończona. Zatem te same argumenty, które pokazały, że filtry FIR są liniowe, będą teraz stosowane tutaj. Do tej pory może to wydawać się dużo zamieszania niewiele. Cała ta linia dochodzenia jest dobra dla odpowiedzi na to pytanie w etapach, zaczynając od przykładu. Nie jest to wielka niespodzianka, że możemy obliczyć próbkę wykładniczą przez mnożenie rekursywne. Spójrzmy na rekurencyjny filtr, który robi coś mniej oczywistego. Tym razem uczynić filtr drugiego rzędu tak, aby wywołanie filtru miało formę Pozwala ustawić drugi współczynnik wyjściowy a2 do -2cos (2pi40), a trzeci współczynnik wyjściowy a3 do 1, i przyjrzeć się impulsowi odpowiedź. Nie bardzo użyteczny jako filtr, ale faktycznie generuje próbkowaną falę sinusoidalną (z impulsu) z trzema wielokrotnymi dodanymi na próbkę Aby zrozumieć, jak i dlaczego to robi, oraz jak można zaprojektować i przeanalizować filtry rekurencyjne tym bardziej ogólnym przypadku, musimy cofnąć się i przyjrzeć się niektórym innym właściwościom złożonych liczb, w drodze do zrozumienia transformacji z.
No comments:
Post a Comment